Perligentiel, généralisation de la mathématique différentielle

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Modèle:Voir homonymes En mathématiques, l'intégration est le fait de calculer une intégrale. C'est aussi une des deux branches du calcul infinitésimal, appelée également calcul intégral, l'autre étant le calcul différentiel.

Les opérations de mesure de grandeurs (longueur d'une courbe, aire, volume, flux...) et de calcul de probabilités étant souvent soumises à des calculs d'intégrales, l'intégration est un outil scientifique fondamental[1]. C'est la raison pour laquelle l'intégration est souvent abordée dès l'enseignement secondaire.

Les différents domaines dans lesquels peuvent se rencontrer des intégrales ont conduit à donner des définitions différentes de l'intégrale permettant d'en calculer pour des fonctions de moins en moins régulières. On rencontre ainsi les intégrales dites de Riemann, de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock. Mais toutes ces définitions coïncident dans le cas des fonctions continues.

Le symbole mathématique représentant l'intégration, le « S long » : <math>\textstyle\int</math>, est appelé signe somme, signe d'intégration, signe intégral ou intégrateur ; il a été introduit par Leibniz pour noter l'intégrale.

Fichier:Aire sous la courbe.svg
L'intégrale de la fonction positive f, <math>\textstyle A=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx</math> peut être interprétée comme l’aire du domaine délimité par :
(1) la courbe représentative de la fonction Modèle:Math (d'équation <math>y=f(x)</math>),
(2) l'axe des abscisses
et (3-4) les droites verticales d'abscisses Modèle:Math et Modèle:Math.

Le présent article décrit l'intégrale des fonctions d'une variable réelle. Pour les extensions aux fonctions de plusieurs variables, voir les articles Intégrale curviligne, Intégrale multiple et Intégrale de surface. Le cas général de l'intégrale des fonctions définies sur un espace mesurable muni d'une mesure positive est traité dans l'article Intégrale de Lebesgue. Une autre extension est l'intégrale des formes différentielles.

Cas particulier de la fonction continue sur un intervalle Modèle:Math

Calcul d'aire

Fichier:Integral.svg
Représentation graphique d'un intégrande Modèle:Math positif et de son intégrale.
Fichier:Integral example.png
Représentation graphique d'un intégrande Modèle:Math réel et de son intégrale (avec signe).

Dans un plan muni d'un repère cartésien, on choisit comme unité d'aire, l'aire du quadrilatère OIKJ où O est l'origine du repère et I, J et K les points de coordonnées respectives (1 ; 0), (0 ; 1) et (1 ; 1).

Si Modèle:Math est une fonction réelle positive continue prenant ses valeurs dans un segment Modèle:Math, alors l'intégrale de Modèle:Math sur Modèle:Math, notée
<math>\int_{x \in I}f(x)\, \mathrm dx\,\! ,</math>
est l'aire d'une surface délimitée par la représentation graphique de Modèle:Math et par les trois droites d'équation Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, surface notée Modèle:Math. (Voir schéma ci-contre pour l'intervalle Modèle:Math.)

<math>S_f=\{(x,y)\in \R^2_+\mid x \in I \text{ et } 0 \le y \le f(x)\}</math>

Fichier:Что такое интеграл Анимация.gif
Quelle est l'intégrale (animation)

On donne un signe positif à l'aire des surfaces comme Modèle:Math situées au-dessus de l'axe des abscisses. Pour pouvoir traiter aussi les fonctions négatives, on donne un signe négatif aux portions situées sous cet axe.

Ainsi, pour définir l'intégrale d'une fonction continue dans le cas général (positive ou négative), il suffit de définir Modèle:Math et Modèle:Math, communément appelées parties positive et négative de Modèle:Mvar respectivement, comme suit :

<math>f^+ (x)=\begin{cases} f(x) & \text{si } f(x) > 0 \\ 0, & \text{sinon } \end{cases}</math>
<math>f^- (x)=\begin{cases} -f(x) & \text{si } f(x) < 0 \\ 0, & \text{sinon } \end{cases}</math>

puis de définir l'intégrale de Modèle:Math à partir de Modèle:Math et Modèle:Math, fonctions continues et positives :

<math>\int_{x \in I} f \, \mathrm dx\,\! = \int_{x \in I} f^+ \, \mathrm dx - \int_{x \in I} f^- \, \mathrm dx\,\!</math>

Plus précisément, définir l'aire de cette surface consiste, dans la définition de la théorie de Riemann, à approcher Modèle:Math par une suite de fonctions Modèle:Math dont on connaît l'intégrale (en général : des rectangles qu'on définit d'aire Modèle:Math) et telle que la différence entre Modèle:Math et Modèle:Math tende vers 0 quand Modèle:Math tend vers l'infini.

Avec cette méthode, il est possible de définir l'« aire sous la courbe » d'une fonction bornée ne présentant qu'un ensemble dénombrable de points de discontinuité.

Modèle:Ancre On appelle Modèle:Math un intégrande[2], et on note ∫ (un s allongé, mis pour somme) l'opérateur mathématique, appelé intégrateur, qui est associé à l'intégration. Ce symbole est un ancien s long : en effet, Leibniz s'est servi de l'initiale du mot latin summa, « somme », lequel était le plus souvent écrit ſumma. À la différence du s long, ∫, en typographie, garde toujours une hampe descendant au-dessous de la ligne de base, en romaine comme en italique. (Voir l'article Notation de Leibniz pour une justification de la notation complète, et en particulier du symbole dx.).

Lien avec les primitives

Le but du calcul intégral est de développer des méthodes permettant de calculer les intégrales. La principale méthode pour calculer une intégrale passe par la notion de primitive d'une fonction. La « primitivation » est l'opération qui, à partir d'une fonction Modèle:Math, donne une fonction Modèle:Math dérivable et dont la dérivée est égale à Modèle:Math : Modèle:Math.

On montre que toute fonction continue sur un segment Modèle:Math admet des primitives, et que l'intégrale de Modèle:Math à Modèle:Math est égale à Modèle:Math, indépendamment de la primitive choisie.

<math>\int_{a}^b f(x)\, \mathrm dx= F(b) - F(a) = \left[F(x)\right]_a^b</math>

De plus, l'ensemble des primitives d'une fonction Modèle:Math continue sur un intervalle Modèle:Mvar est donné par l'ensemble de ses intégrales indéfinies

<math>F(x) = \int_{a}^x f(t)\, \mathrm dt + K\, ,</math>

où Modèle:Math est un point de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar un réel quelconque.

Le théorème fondamental de l'analyse affirme que les deux approches de l'intégrale (« aire sous une courbe » et « primitivation »), sont sous certaines conditions les mêmes. Ces conditions peuvent varier selon le type d'intégrale considéré. Ainsi, les fonctions qui admettent des primitives presque partout, sont aussi intégrables au sens de Kurzweil-Henstock, mais pas nécessairement au sens de Riemann ou au sens de Lebesgue.

Historique

L'histoire des mathématiques doit beaucoup à la théorie de l'intégration, et sa place prédominante a façonné l'analyse en offrant à qui une solution, à qui un problème. Le lustre des « méthodes intégrales » en Grèce antique l'atteste (voir méthode d'exhaustion), et bien qu'il faille attendre le calcul infinitésimal pour une première formalisation, elles nous avaient déjà offert de profonds et beaux résultats : les Athéniens évaluèrent les grandeurs de l'espace puis en démontrèrent implicitement l'existence et l'unicité ; au Modèle:XVIIe siècle naissent des méthodes générales de « calcul de l'infini » (rectification de courbes, quadratures, etc.) C'est alors que la méthode des indivisibles de Cavalieri voit le jour.

C'est Leibniz qui opère le fondement de la théorie de l'intégration (Geometria recondita, 1686), perpétué jusqu'aujourd'hui, d'une part par un symbolisme inégalé reliant intégration et dérivation, d'autre part par la mise en place des principaux théorèmes.

La formalisation de cette théorie a revêtu diverses formes. Elle aboutit tardivement, à cause de la complexité des problèmes soulevés :

  • que sont les fonctions ? les réels ? (ces questions ne furent pleinement élucidées que grâce au développement de l'analyse au Modèle:S-) ;
  • quelles fonctions peuvent s'intégrer ? (c'est la question de l'intégrabilité ; elle est liée, entre autres, à des problèmes de convergence).

L'intégrale de Riemann (Bernhard Riemann, 1854, publication posthume en 1867) puis l'intégrale de Lebesgue (Henri Lebesgue, 1902) ont marqué les esprits par leur formalisation aboutie. L'intégration est encore un sujet pour la recherche contemporaine ; en témoignent des extensions telles que l'intégrale d'Itō, l'intégrale de Kurzweil-Henstock, ou la récente construction de Bongiorno (1996)[3].

Extension de l'intégrale aux fonctions non continues sur un intervalle

Différences entre l'intégration au sens de Riemann et au sens de Lebesgue

Le schéma général utilisé pour construire une intégrale et qui cherche à mesurer l'aire du domaine sous la courbe est le même pour les trois approches de l'intégration :

D'abord, on considère une famille de fonctions élémentaires, pour lesquelles nous avons un moyen évident de mesurer l'aire sous la courbe. Dans le cas de l'intégrale de Riemann ou de Kurzweil-Henstock, ce sont les fonctions en escalier dont l'aire sous la courbe est égale à la somme des aires des rectangles ; les fonctions en escalier étant constantes sur des intervalles, le domaine sous la courbe d'une telle fonction peut alors être vu comme une réunion de rectangles. Pour l'intégrale de Lebesgue, les fonctions élémentaires sont les fonctions étagées, constantes, non plus sur des intervalles, mais sur des parties mesurables (approche plus souple et plus générale).

L'intégrale de Riemann permet d'intégrer entre autres les fonctions croissantes ou décroissantes, et les fonctions continues, donc aussi les fonctions continues par morceaux, ainsi que les fonctions monotones par morceaux. Toute limite uniforme d'une suite de fonctions intégrables au sens de Riemann est intégrable au sens de Riemann. Cependant une limite simple (c'est-à-dire que Modèle:Math pour tout Modèle:Math de l'intervalle Modèle:Math sans condition d'uniformité en Modèle:Math) de fonctions Riemann intégrables n'est pas nécessairement Riemann intégrable. Il est possible de caractériser les fonctions intégrables au sens de Riemann  : ce sont les fonctions bornées dont l'ensemble des points de discontinuité est de mesure nulle (critère de Lebesgue).

L'intégration au sens de Lebesgue permet d'intégrer plus de fonctions (dont des fonctions qui ne sont même pas localement bornées), et elle donne la même valeur à l'intégrale lorsque la fonction est déjà intégrable au sens de Riemann. Elle a l'avantage de munir l'espace vectoriel des fonctions intégrables (modulo l'égalité presque partout) d'une structure d'espace normé complet. Ceci est essentiel pour beaucoup d'applications. Cependant, on perd la notion de sommes de Riemann, et il existe des contextes (étude des suites uniformément distribuées par exemple) où les fonctions intégrables au sens de Riemann surviennent naturellement ; pour une généralisation de cette dernière permettant néanmoins d'intégrer également toutes les fonctions mesurables (au sens de Lebesgue), voir l'intégrale de Kurzweil-Henstock.

Cas des fonctions monotones

Si sur le segment Modèle:Math (ainsi [[#Définition du cas réel à partir de l'aire sous la courbe|Modèle:Math]] est inclus dans Modèle:Math), alors nous aurons Modèle:Math.

Si l'on suppose par exemple la fonction Modèle:Math monotone sur Modèle:Math, il est possible d'approcher son aire en utilisant soigneusement une fonction élémentaire Modèle:Math (dans le cas de l'intégration de Riemann ou de Kurzweil-Henstock, une fonction en escalier, et dans le cas de l'intégration de Lebesgue, une fonction étagée). Nous choisissons Modèle:Math telle que Modèle:Math mais en supposant Modèle:Math très proche de Modèle:Math, au sens où, ayant préalablement fixé un Modèle:Math arbitrairement petit, les valeurs prises par Modèle:Math s'éloignent de celles prises par Modèle:Math d'au plus Modèle:Math, ce qui se note <math>\|f-s\|_\infty=\sup_{[a,b]}\,|f-s|\le\varepsilon</math>.

L'aire sous Modèle:Math, facilement calculable comme somme d'aires de rectangles, est majorée par l'intégrale de Modèle:Math, et est appelée somme inférieure.

Cas des fonctions non monotones

Dans le cas de l'intégrale de Riemann ou de Kurzweil-Henstock, nous fabriquons aussi des sommes supérieures de la même façon : nous choisissons une fonction en escalier, disons Modèle:Math, telle que Modèle:Math en supposant Modèle:Math de la même manière très proche de Modèle:Math, et nous considérons une somme supérieure comme un majorant de l'aire du domaine sous Modèle:Math. Dans le cas de l'intégrale de Riemann, les rectangles utilisés ont des bases de longueur majorée par une constante ; dans le cas de l'intégrale de Kurzweil-Henstock, les rectangles ont des bases de longueur variable. La théorie de Lebesgue n'utilise pas de sommes supérieures.

On montre que l'ensemble des aires sous les fonctions Modèle:Math que l'on peut choisir (respectivement sous les fonctions Modèle:Math dans la théorie de Riemann ou de Kurzweil-Henstock), admet une borne supérieure (resp. inférieure, et c'est la même). Cette valeur est alors appelée intégrale de Modèle:Math sur Modèle:Math.

Les fonctions que nous pouvons intégrer sont appelées fonctions intégrables.

Cependant, les différences commencent ici ; la théorie de Riemann est de loin la plus simple, mais de cette simplicité résulte que l'ensemble des fonctions intégrables est plus restreint que celui de la théorie de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock. En plus, l'interaction entre les limites et l'intégrale sont plus difficiles à décrire dans la théorie de Riemann.

Généralisation à un intervalle quelconque

Fonctions intégrables positives

La généralisation de l'intégrale à un intervalle quelconque se fait en se basant sur la notion d'intégrale définie sur un segment.

Soit Modèle:Math une fonction à valeurs réelles positives, continue définie sur un [[Intervalle réel|intervalle Modèle:Math quelconque, noté Modèle:Math]], où Modèle:Math est réel ou égal à Modèle:Math et Modèle:Math est réel ou égal à Modèle:Math, et où les parenthèses signifient [ ou ] (avec exclusion si valeur infinie).

On dit que Modèle:Math est intégrable sur l'intervalle Modèle:Math lorsque l'ensemble <math>\textstyle\{\int_{[c,d]}f~|~[c,d]\subset I\}</math> est majoré. Partie non vide et majorée de ℝ, il admet une borne supérieure : on la note alors <math>\textstyle\int_I f</math> et on l'appelle intégrale de Modèle:Math sur Modèle:Math.

Avec ces mêmes données, on a l'équivalence logique : Modèle:Math intégrable sur Modèle:Math si et seulement si toute primitive de Modèle:Math sur Modèle:Math admet une limite finie en Modèle:Math et en Modèle:Math.

Dans le cas où une fonction Modèle:Math est intégrable sur un intervalle Modèle:Math, on a
<math>\int_{(a,b)}f=\lim_bF-\lim_aF.</math>

Fonctions intégrables à valeurs complexes ou vectorielles

Enfin, pour une fonction continue définie sur un intervalle Modèle:Math quelconque et à valeurs dans ℂ, on pose par définition : Modèle:Math est intégrable sur Modèle:Math si Modèle:Math intégrable sur Modèle:Math en tant que fonction à valeurs réelles positives.

De même pour Modèle:Math continue définie sur Modèle:Math et à valeurs dans un espace vectoriel normé Modèle:Math, Modèle:Math est intégrable sur Modèle:Math si et seulement si Modèle:Math est intégrable sur Modèle:Math en tant que fonction à valeurs réelles positives.

Intégrales impropres

Modèle:Voir Il se peut très bien que « l'aire sous la courbe » d'une fonction définie et continue sur Modèle:Math et à valeurs réelles (changeant de signe) ait une limite en faisant tendre les extrémités d'une suite de segments inclus dans Modèle:Math vers les bornes de Modèle:Math, sans toutefois que la fonction en jeu soit intégrable sur Modèle:Math au sens de la définition. On parle alors d'intégrale semi-convergente, la valeur de l'aire trouvée est appelée intégrale impropre. C'est le cas avec l'exemple classique de la fonction de Modèle:Math dans ℝ qui à tout Modèle:Math associe Modèle:Math : elle peut être prolongée continûment par 1 en zéro mais le problème de l'intégrabilité se pose au voisinage de Modèle:Math. On peut calculer son intégrale impropre (puisqu'elle n'est que semi-convergente) : on trouve

<math>\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}t\, \mathrm dt=\frac\pi2</math>.

Moyenne

Valeur moyenne d'une fonction

Pour toute fonction continue (ou même seulement continue par morceaux) sur un segment Modèle:Math tel que Modèle:Math, la valeur moyenne de Modèle:Math sur Modèle:Math est le réel Modèle:Math défini par :
<math>m=\frac1{b-a}\times\int_a^bf(x)\, \mathrm dx.</math>
Cette notion généralise celle de moyenne d'un nombre fini de réels en l'appliquant à un nombre infini de valeurs prises par une fonction intégrable. Elle sert par exemple dans la décomposition en série de Fourier d'une fonction périodique : c'est la composante constante. En traitement du signal, pour les signaux périodiques, il s'agit de la composante continue (offset).

Moyennes pondérées

On peut aussi, par analogie avec les moyennes pondérées d'un nombre fini de réels, affecter « à chacune des valeurs prises par la fonction » un coefficient strictement positif. On utilise alors ce que l'on appelle une fonction poids <math>w:\R\to\R_+^*</math> (<math>w</math> pour l'initiale de Modèle:Lang, poids en anglais) :
<math>m_w=\frac{\int_a^bf(x)w(x)~\mathrm dx}{\int_a^bw(x)~\mathrm dx}.</math>
Ce procédé peut aussi s'utiliser sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert mais borné (c.-à-d. aucune de ses bornes n'est infinie) où la fonction Modèle:Math est intégrable. On peut citer l'exemple classique servant à montrer l'orthogonalité de la famille des polynômes de Tchebychev :
<math>\frac2\pi\,\int_{[0,1[} \frac{T_n(x)T_p(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm dx\,\!</math>
où la fonction Modèle:Math est continue sur le fermé Modèle:Math et où la fonction poids est
<math>\begin{array}{cccc}w: & \R & \longrightarrow & \R_+^*\\& x & \mapsto & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\end{array}</math>
Son intégrale est bien définie et vaut Modèle:Math.

Propriétés des intégrales

Relation de Chasles

Soient Modèle:Math une fonction continue sur Modèle:Math et Modèle:Math et Modèle:Math trois réels de Modèle:Math.

  • <math>\int_a^af(x)\, \mathrm dx\,\! = 0</math>
  • <math>\int_b^af(x)\, \mathrm dx\,\! = -\int_a^bf(x)\, \mathrm dx\,\!</math>
  • <math>\int_a^bf(x)\, \mathrm dx\,\! + \int_b^cf(x)\, \mathrm dx = \int_a^cf(x)\, \mathrm dx</math> (relation de Chasles)

Linéarité

Soient Modèle:Math et Modèle:Math deux fonctions continues sur Modèle:Math et Modèle:Math deux réels de Modèle:Math.

  • <math>\forall \lambda \in\R, \int_a^b\lambda\,f(x)\, \mathrm dx = \lambda\,\int_a^bf(x)\, \mathrm dx</math>
  • <math>\int_a^b(f(x)+g(x))\, \mathrm dx=\int_a^bf(x)\, \mathrm dx+\int_a^bg(x)\, \mathrm dx\,\!</math> (linéarité de la fonction intégrale)

Inégalités

Soient Modèle:Math et Modèle:Math deux fonctions continues sur Modèle:Math et Modèle:Math deux réels de Modèle:Math.

Modèle:Article connexe

Intégration par parties

Modèle:Article détaillé

Soient Modèle:Math et Modèle:Math deux [[fonction de classe C1|fonctions de classe CModèle:Exp]] (i. e. dérivables de dérivées continues sur le segment Modèle:Math) :

<math>\int_a^bu(x)v'(x)\,\mathrm dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\,\mathrm dx.</math>

Intégration par changement de variable

Modèle:Article détaillé

Soit Modèle:Math une fonction numérique continue, et Modèle:Math une fonction de classe CModèle:1 sur Modèle:Math dont l'image est contenue dans le domaine de définition de Modèle:Math. Alors :

<math>

\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\,\mathrm dx=\int_a^bf(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm dt.

</math>

Calcul d'intégrales sous forme explicite

Les formules précédentes, bien que permettant la détermination de nombreuses intégrales et primitives, ne permettent pas d'obtenir explicitement la plupart d'entre elles. Plus précisément, des théorèmes comme celui de Liouville montrent qu'il est par exemple impossible d'exprimer les primitives d'une fonction telle que <math>x\mapsto\frac1{\ln x}</math> à l'aide des fonctions usuelles (dites élémentaires), ce qui oblige à en définir de nouvelles (ici, la fonction logarithme intégral)[alpha 1] ; de même, la plupart des intégrales définies ne peuvent être calculées sans introduire de nouvelles constantes (voir l'article Algèbre des périodes).

Calcul numérique d'une intégrale

Modèle:Article détaillé

Fichier:Integration num rectangles notation.svg
Intégration numérique par la méthode des rectangles.
Fichier:Integration num trapezes notation.svg
Intégration numérique par la méthode des trapèzes.

On ne connaît pas toujours une formule pour décrire une fonction, par exemple dans le cas d'une courbe expérimentale. Dans d'autres cas, on ne connaît pas de méthode analytique pour exprimer la primitive, ou bien on n'a pas besoin de l'expression analytique et seule la valeur numérique suffit. On a recours dans ces cas-là à une méthode numérique.

Les méthodes numériques consistent à prendre une suite de valeurs Modèle:Math, les valeurs des Modèle:Mvar étant si possible équidistantes : Modèle:Math. On peut ensuite appliquer différentes méthodes, dont les deux principales consistent à faire la somme d'aires Modèle:Mvar :

<math>\sum_{i = 1}^n f(x_i)\times p</math> ;
<math>\sum_{i = 1}^{n-1} \frac{f(x_i) + f(x_{i+1})}{2}\times p = \sum_{i = 2}^{n-1} f(x_i)\times p + \frac{f(x_1) + f(x_n)}{2}\times p .</math>

Les méthodes numériques sont automatisables sur les ordinateurs et calculatrices programmables.

D'autres méthodes sont possibles. Modèle:Clr

Méthode graphique de tracé d'une primitive

Fichier:Integration graphique.svg
Intégration graphique d'une fonction : les vecteurs à droite correspondent aux ordonnées de la courbe de gauche.
Fichier:Ballon reflux flexion deformee.svg
Détermination graphique d'une intégrale double : les vecteurs à droite correspondent aux abscisses de la courbe du haut à un facteur près ; la position du pôle détermine l'inclinaison de la courbe.

On peut utiliser des méthodes graphiques utilisant le fait que la valeur de la fonction en un point est la pente de la primitive.

Considérant le même découpage que précédemment, on découpe l'intervalle d'intégration en bandes verticales de largeur Modèle:Math centrées sur les valeurs Modèle:Math. Sur un graphique voisin, le graphique polaire, on place des vecteurs <math>\vec{v}_i = f(x_i)\vec{\jmath}</math> à l'origine O et l'on considère un point P sur l'axe des Modèle:Math, distant de O ; P est appelé le pôle. Si l'on relie P aux extrémités des vecteurs, on obtient des droites Modèle:Math dites polaires, dont les coefficients directeurs Modèle:Math sont proportionnels aux valeurs de Modèle:Math : <math>a_i = \frac{f(x_i)}{\mathrm{OP}} .</math>

On reporte ensuite les directions de ces droites polaires pour former un polygone funiculaire. L'axe des ordonnées est à une échelle 1/OP. L'ordonnée de départ du funiculaire correspond à la constante d'intégration.

Si, au lieu de placer l'origine des vecteurs en O, on les met bout à bout, on effectue alors une double intégration, puisque les valeurs sont cumulées. Le pôle n'est plus nécessairement sur l'axe des Modèle:Math ; cela incline différemment la courbe obtenue, et correspond à la constante d'intégration de la première intégrale. Ceci est par exemple appliqué pour déterminer le diagramme des moments fléchissants d'une poutre en flexion à partir des charges, ou bien la forme de cette poutre à partir du diagramme des moments fléchissants. Modèle:Clr

Méthodes analogiques

Mesure de surface

Il est possible d'estimer la valeur d'une intégrale par des mesures physiques. Par exemple, on trace la courbe sur une feuille de papier, on découpe la feuille suivant le tracé puis on pèse le résultat. En effet, si la masse surfacique est uniforme, alors le poids mesuré est proportionnel à l'aire. Ce principe était notamment utilisé pour déterminer l'aire d'un pic dans des mesures, par exemple pour faire de l'analyse quantitative par diffractométrie X.

Intégration d'une fonction d'intensité électrique

On peut utiliser d'autres phénomènes physiques « intégrateurs », comme le chauffage d'un corps :

  • la fonction à intégrer est représentée par un courant d'intensité variable qui passe dans un résisteur chauffant ;
  • l'intégrale est représentée par la température du corps chauffé, par exemple une quantité donnée d'huile ;

puisque la variation de température Modèle:Math est reliée à la chaleur reçue Modèle:Math par l'équation :

<math>\delta Q = m \cdot C_p \cdot dT</math> où Modèle:Math est la masse d'huile et Modèle:Math sa chaleur massique.

Cette variation Modèle:Math est donc proportionnelle à l'intensité Modèle:Math par la loi d'Ohm :

<math>R \cdot i^2 \cdot dt = m \cdot C_p \cdot dT</math>, où Modèle:Math est la durée de chauffage,

soit

<math>\mathrm{T} = \int_0^\tau \frac{\mathrm{R}}{m \cdot \mathrm{C_p}}\cdot i^2(t) \cdot \mathrm{d}t</math>

Calculateurs analogiques électroniques

Modèle:Loupe

Notes et références

Notes

Modèle:Références

Références

Modèle:Références

Voir aussi

Modèle:Autres projets

Articles connexes

Modèle:Colonnes

Bibliographie

Liens externes

Modèle:Portail

  1. ↑ Alain Michel, Constitution de la théorie de l'intégration, p. 10, Modèle:Google Livres.
  2. ↑ Mot masculin, comme multiplicande, opérande, radicande.
  3. ↑ Modèle:Article.


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